《科學大家》專欄:量子力學那些事:量子糾纏、貝爾非定域性
欄目:行業動態 發布時間:2018-06-08
經典理論和量子理論毫無疑問是人類智慧的結晶。牛頓力學是以牛頓運動定律和萬有引力定律為基礎,研究速度遠小于光速的宏觀物體的運動規律。從本質上講,牛頓力學是一種超距作用的物理理論。

                                                                                                                  

       出品 | 新浪科技《科學大家》

  撰文 | 陳景靈 南開大學陳省身數學所教授

  一、引言

  經典理論和量子理論毫無疑問是人類智慧的結晶。牛頓力學是以牛頓運動定律和萬有引力定律為基礎,研究速度遠小于光速的宏觀物體的運動規律。從本質上講,牛頓力學是一種超距作用的物理理論。在一個有相互作用的多體系統中,一個質點的變化可以瞬間影響整個系統。再比如,牛頓力學允許剛體的存在,如果我們對質心施加作用,則剛體所有的點都會立即隨著質點運動的變化而變化。到了十九世紀,麥克斯韋的電磁理論首次預言電磁波的存在,并且以光速的有限速度傳播。這隨后促使愛因斯坦把相互作用的定域性作為一個基本前提,在其相繼提出的狹義和廣義相對論中占有重要的位置。相對論的巨大成功讓人們相信,定域性是一切相互作用應當遵守的法則。

  然而量子力學的結果讓人頗感意外。貝爾指出,所有的定域理論都有一個界限,即貝爾不等式,而量子力學可以突破這個界限。這意味著由量子力學描述的世界是非定域的。很長一段時間人們對非定域性這個概念很不適應。受到相對論中定域性的影響,量子力學的這種非定域性似乎意味著超距作用的可能,那么物理理論就又回到了牛頓力學的范疇。但事實并非如此。與牛頓力學不同,量子力學具有概率論的特點。量子力學中的聯合概率滿足無信號條件,而無信號條件刻畫了空間中相距一定距離的兩點是否存在相互作用。實際上,量子力學中的非定域性本質上是一種關聯,它與超距作用是完全不同的概念。我們可以看到,現有的量子隱形傳態等量子信息技術方案都需要經典通訊的幫助,無法實現信號的超光速傳遞。量子力學的科學研究有一個顯著的特點,就是它通常要和經典理論進行比較以達到深入地理解?;蛘哒f,在一定程度意義上,量子力學的研究脫離不開與經典力學的對比。在對經典和量子理論的不斷對照和思索中,人們涌現出了許許多多的疑問:大自然為何允許存在這種非定域關聯?是怎樣的一種機制使得非定域性與因果律不相矛盾?我們周圍的這個世界甚至包括人類自己到底是客觀性的還是主觀性的,是確定性的還是概率性的?等等。這些問題的解答將會對物理理論以及整個科學的發展帶來積極的促進作用。

  自從量子力學的奠基者以其深邃的洞察力提出“薛定諤貓態”和“EPR佯謬” 以來, 對于量子非定域性(Quantum Nonlocality)的研究一直是探索量子力學基本問題的熱點課題。量子非定域性是量子力學區別于經典力學的本質特性,是量子信息和量子計算的基礎,并具有極其深刻的物理意義。自從量子力學的誕生開始,人們對量子非定域性的理論研究與實驗探測一直沒有停息。2007 年,Wiseman, Jones 和Doherty 對量子非定域性進行重新審視,他們把它仔細劃分為三種類型:量子糾纏(Quantum Entanglement)、量子導引(Qauntum Steering)和貝爾非定域性(Bell Nonlocality)。量子糾纏和量子導引的基本概念起源于1935 年愛因斯坦、波多爾斯基和羅森(簡稱為EPR)的著名論文以及量子力學奠基人之一薛定諤對EPR 論文的反應。而貝爾非定域性則來源于1964 年貝爾對于EPR 佯謬的思考。1989 年德國物理學家Werner 首次給出量子糾纏的嚴格數學定義。2007 年Wiseman 等人首次給出量子導引的嚴格數學定義,并指出貝爾非定域性是自然界最強類型的非定域性,而量子導引是一種嚴格介于量子糾纏和貝爾非定域性之間的新型非定域性。

  研究貝爾非定域性的手段主要有貝爾不等式和無不等式方法(比如GHZ 定理和Hardy 定理)。貝爾不等式被稱為“科學中意義最深遠的發現” (The most profound discovery in science),量子糾纏態對于不等式的破壞意味著此量子態的非定域性;而一個物理系統或狀態若被證明有GHZ定理則說明此物理系統或狀態具有貝爾非定域性。量子非定域性被認為是量子力學的核心性質之一,同時它亦是量子信息學中的核心問題。同時通過與信息論的交叉融合,形成了量子信息學,亦為量子力學提供了一個全新的視點和生長點,對它的深入研究也極大地深化了量子理論本身,并開拓了量子力學應用的新天地。通過利用量子力學中的基本原理和基本概念來實現信息的處理,量子信息學取得了革命性發展。目前,量子非定域性的物理含義已逐步被發掘出來并廣泛地應用于量子信息學各個領域,諸如量子密碼、量子計算、量子通訊、量子模擬、量子隱形傳態和真正隨機數生成等。許多突破性成果已經獲得,與此同時還有許多激動人心的方向亟待著人們去探索和發現。

  二、貝爾不等式

  1935年,愛因斯坦、波多爾斯基和羅森發表了題為“Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?”的論文。在論文中他們提出,實在性是物質獨立于任何理論的屬性;一種理論是否完備取決于每一個物理實在元素都可以在這個理論中找到對應的描述,即理論中定義的各種物理量。實在性意味著這些物理量有確定的大小。然而我們知道,在量子力學中一個粒子的位置和動量不可能同時確定。EPR通過定域性假設和實在性假設,運用量子力學中的糾纏態得到一個EPR 佯謬。根據EPR 佯謬,愛因斯坦等人認為如果定域實在論是正確的,那么依賴波函數去描述一個系統的量子力學理論將是不完備的。在相對論中,相互作用的傳播速度不能超過光速,因此類空間隔的兩個事件不會互相影響,這就是定域性。定域性假設是指A粒子的測量結果只與對A的測量方式有關,與B粒子的測量結果和方式無關。衡量定域性的必要條件就是量子測量結果的聯合概率要滿足所謂的無信號條件(No-Signaling Condition)。

  然而,定域實在論會是正確的嗎?基于對EPR 佯謬的思索,1964 年貝爾以不等式的形式提出了貝爾定理的基本思想:任何定域實在論都與量子力學理論不相容。貝爾不等式的問世使得量子糾纏態的非定域性第一次可以通過物理實驗進行驗證,從而使得原來只能停留在哲學層面上的愛因斯坦--玻爾之爭變成一個可以從實驗上加以定量檢驗的問題。在量子信息中,我們稱一個二能級系統為量子比特(Qubit), 其物理載體可以是一個自旋1/2粒子,或者一個偏振光子等。1964 年貝爾提出的原始不等式是針對兩比特系統(Two-Qubit),但其形式不易于實驗檢驗。隨后,1969 年Clauser,Horne,Shimony 和Holt(CHSH)完善了兩比特系統的貝爾不等式,他們提出了更易于實驗操作的 CHSH 不等式。對于定域實在論或者定域隱變量模型(即LHV 模型)而言,CHSH 不等式的經典上界是2。然而在量子力學中,分別掌握兩個比特粒子的觀測者 Alice 和Bob 卻可以通過選擇合適的測量方向使得量子破壞值可以達到2.828,這十分明顯地超過了定域實在論所確定的上界。CHSH不等式使得量子糾纏態的貝爾非定域性第一次可以通過物理實驗進行驗證,并且激發了一大批構思巧妙的實驗工作,比如1981年 Aspect 等人從實驗上驗證了量子力學對貝爾不等式的違背。從1981 年至2015 年期間,許多檢驗貝爾非定域性的貝爾實驗陸續涌現,盡管一些定域性漏洞或者探測效率漏洞仍然存在,但這些貝爾實驗均證實了量子力學理論預言的正確性。2015 年底,終于出現三個實驗組的貝爾實驗,它們均同時克服了定域性漏洞和探測效率漏洞這一長期困難問題。利用貝爾不等式這一強而有力的工具能夠無可爭辯地揭示出量子糾纏態的非定域性,顯示出量子力學本質區別于基于定域實在理論的經典力學。這說明,不存在定域實在的隱變量理論,定域性和實在性兩者有一個是錯誤的,或者都是錯誤的。

  1969 年之后,貝爾不等式理論方面的研究獲得極大的推廣。為了方便論述,我們稱具有d個能級的系統為Qudit(d 亦稱為系統的維數,當它等于2 時對應與Qubit),測量方式稱為Setting。所以,N 體 K-Setting Qudit指的是一個系統中有N個粒子,對每一個粒子有K 種測量方式,能夠得到d 種結果。按照這種說法,著名的CHSH 不等式就屬于兩體兩維系統的兩Setting 貝爾不等式。貝爾不等式理論框架本身的進一步完善、以及量子信息學的進一步發展,比如需要量子調控多粒子糾纏系統,迫切需要人們對貝爾不等式進行推廣。貝爾不等式的推廣一般沿著三個方向進行:(i)多體,即多粒子系統;(ii)多維,即多能級系統;(iii)多Setting,即每個觀測者做多次投影測量方式。目前,比較知名的貝爾不等式有: (i) MABK 不等式, WWZB 不等式,Hardy 不等式,它們都屬于N體兩維系統的兩Setting 貝爾不等式; (ii) CGLMP 不等式, 它屬于兩體多維系統的兩Setting 貝爾不等式;(iii) Chained 不等式, AS 不等式,它們屬于兩體兩維系統的多Setting 貝爾不等式,等等。對于上述提到的知名不等式,其提出者在構造過程基本上是靠猜測或反復測試,缺乏系統的辦法。2009 年,人們發現有一套系統并行之有效的方法來構造貝爾不等式。這套方法是基于貝爾函數的“根”的概念,借助于此方法人們能夠重現文獻上提出的所有貝爾不等式并且對它們進行有效的分類(比如CHSH 不等式和MABK 不等式是屬于具有兩個不同“根”的不等式,而CGLMP 不等式是屬于具有三個不同“根”的不等式 ), 同時還能夠給出一些嶄新的貝爾不等式。

  貝爾1928 年出生于北愛爾蘭,逝世于1990 年,曾獲得諾貝爾獎提名。1998 年英國《Physics World》雜志專題報導了貝爾的生平及科學發現,評述說:“量子力學是所有時代里最成功的科學理論。許多偉大的名字與量子理論聯系在一起。海森堡與薛定諤建立了理論的數學形式,愛因斯坦和玻爾分析了其許多重要的特性。盡管如此,還是貝爾對理論的考察最深刻,他建立的理論能夠告訴我們物質世界最基礎的本質”。由于貝爾的杰出貢獻,2009 年學術界成立了貝爾獎,用以表彰在量子力學基本問題及其應用方面取得突出成績的研究者。

  三、Leggett不等式與非實在

  量子力學具有非定域性。定域實在論無法完全描述量子力學,那么非定域實在論是否就可以描述呢? 2003年,諾貝爾獎獲得者Leggett 提出了一種類型的非定域實在模型。同時他也提出了Leggett 不等式,并指出量子力學可以違背這個不等式,從而確定此類非定域實在模型也無法完全描述量子力學。Leggett 不等式中的實在性與貝爾不等式的實在性不同,而且沒有類似的的定域性條件。因此,Leggett不等式代表了一種非定域實在模型。2007 年有四個實驗組報道證實了量子力學對Leggett不等式的違背,這就使愛因斯坦意義上的“實在”這一概念受到挑戰[參見“Quantum physics says goodbye to reality”, http://physicsworld.com/cws/article /news /27640]。

  量子力學可以違背貝爾不等式的實驗證實確認了愛因斯坦的定域實在理論不可能完全地描述量子力學的行為,由此說明要么“定域”錯了,要么“實在”錯了,或者兩者都有。一般認為,實在性表現在相應的物理量在測量之前就擁有某個確定的數值,或者說,實在性表現為決定性。實際上,不用決定性假設,人們也可以推出貝爾不等式。因此,實在性不必一定表現為決定性。瑞士物理學家Gisin 認為,決定論和實在論是兩個不同的概念。實在論指的是,人們對系統的測量方式和測量結果都是可以直接接觸到的經典數據,它們可以用經典方式復制、儲存、傳遞,是可以用實數來表示的經典信息。在這個定義的基礎上,一個非實在的世界將存在諸多問題。如果測量方式的選取是非實在的,或者說人們不能自由決定每次實驗的測量方式,那么就沒有真正意義上的隨機,這往往意味著科學的終結。如果測量結果是非實在的,人們將遇到“量子測量問題”。有兩種解決方式:(i)“多宇宙”解釋,但這個解釋將違背自由意志;(ii)測量結束的時間比通常設想的要長,即量子測量的輸出結果不是瞬時的,而是需要有限長的時間,于是空間相距很遠的兩處地點就有足夠的時間進行低于光速的通信。那么,到底是什么標志著一個量子測量的結束呢?這是一個有趣的問題。

  相比之下,我們更加強調世界的非定域性。應該指出的是,通過一種非定域實在模型推出的Leggett 不等式,它同樣能夠被量子力學破壞。結合貝爾不等式的破壞,人們可能會得出“世界是非實在的”這一結論。然而,在Leggett不等式中實在的定義與貝爾不等式稍有不同,而且目前的實驗驗證只限于光子。對于非零質量的粒子,Leggett 不等式是否仍然能夠被破壞還不清楚??傊?,非實在的可能性還是一個很有爭議的問題。

  四、Gisin 定理

  糾纏態是量子力學特有的系統狀態。由態疊加原理可知,一個量子系統可以同時處于多個本征態的線性疊加態。對多體系統便出現糾纏態。量子態按純度分為純態和混合態;按是否糾纏分為可分離態和不可分離態。不可分離態就是量子糾纏態。對于純態,如果該量子態不能因式分解成子系統的直積態,那么它就是糾纏的。對于混合態,如果該系統量子態的密度矩陣不能寫成子系統密度矩陣直積的凸組合,那么它就是糾纏的。這實際上就是1989 年Werner 對于量子糾纏態的數學定義。糾纏的程度稱為糾纏度,它反映了系統之間的關聯程度。糾纏度處于0到1之間,等于1 表示最大糾纏;等于0 表示不糾纏。一般而言,只有純態才能達到最大糾纏。兩比特的貝爾基,多粒子的GHZ 態都是該系統的最大糾纏態。1998 年, Wootters (量子不可克隆定理的提出者之一)首次給出兩比特系統解析的糾纏度公式。然而,除了兩量子比特系統,目前對于其它系統的任意量子態,人們尚未能夠找到解析的糾纏度公式。

  無論是1964 年貝爾的工作、1969 年CHSH 的工作、還是1981 年Aspect 的實驗,都是專注于研究最大糾纏態對于貝爾不等式的破壞。而在上個世紀八十年代,“非最大糾纏態是否也具有貝爾非定域性”或者“量子糾纏與貝爾非定域性之間關系”的研究課題還沒有提上日程。德國物理學家Werner 是第一個關注這個課題的研究者,但他不是從貝爾不等式的角度而是從定域隱變量模型的數學定義本身出發來研究這個課題。定域隱變量模型在玻姆的工作及貝爾的工作中已有明確的數學定義。按照定義,一個量子態如果不具有定域隱變量模型的描述就意味著其具有貝爾非定域性。1989 年,Werner 首次給出量子糾纏嚴格數學定義的同時,他還通過構造Werner 態來分析指出量子糾纏與貝爾非定域性是兩個不同的概念,因為存在一些量子糾纏態,它們永遠可以具有定域隱變量模型的描述。

  一般而言貝爾非定域性是量子糾纏的子集,即存在一些量子態,它們雖然是糾纏的,但不具有貝爾非定域性。

  1991 年,在一個2-Qubit 系統中,Gisin 利用 CHSH 不等式解析地證明了一個定理:任意2-Qubit 糾纏純態都違背貝爾不等式。這個定理被稱為Gisin 定理,它表明:對于任意2-Qubit 純態,量子糾纏與貝爾非定域性等價。但這個定理的結論并不是顯然的,因為1990 年當Gisin 和貝爾面對面討論起量子糾纏與貝爾非定域性的等價關系課題時,貝爾本人并不知道這個結論。1992 年Gisin 和 Peres 隨后發現Gisin 定理也適用于任意2-Qudit 系統(即兩體d 能級系統)的純態,他們的證明方法是先把多維自由度投影到兩維空間,然后仍使用 CHSH 不等式。于是對于兩體任意純態情形,Gisin 定理普遍成立。Gisin 定理表明,不僅最大糾纏態具有貝爾非定域性,而且所有的兩體糾纏純態都具有貝爾非定域性。Gisin 定理因而把非定域性置于物理學的核心。Gisin 的工作發表之后,非定域性的研究及其應用獲得迅速地發展,比如1991 年Ekert 提出基于貝爾定理的量子密碼,其中密碼的安全性由貝爾不等式的違背來保證;1993 年Bennett 等人提出利用貝爾基進行遠程的量子隱形傳態等。

  量子糾纏和貝爾非定域性之間究竟是怎樣的關系?簡而言之,Werner 把量子糾纏和貝爾非定域性兩個基本概念區別開來。Gisin 則指出,在純態這樣的條件下,兩體系統的量子糾纏等價于貝爾非定域性。就在Gisin 定理的建立前后,Mermin, Ardehali, Belinskii 和Klyshko 等 人把2-Qubit CHSH不等式推廣到任意N個Qubit的貝爾不等式(即MABK 不等式)。 但是, 在2001 年Scarani和Gisin卻發現在三粒子和多粒子系統中并不是所有N-Qubit糾纏純態都違背MABK不等式,即MABK不等式被證明不滿足Gisin定理。2001年Werner,Wolf和2012 年Zukowski,Brukner分別建立了關于N-Qubit系統更廣 的貝爾不等式(即WWZB不等式,MABK不等式是它的特殊情形 )。 他們發現雖然WWZB不等式比MABK不等式能探測更多一些糾纏純態,但仍然不滿足Gisin定理。由此人們轉而認為兩體以上的量子系統一般不存在Gisin定理。但是,到了2004年,三粒子系統純態情形的Gisin定理首次獲得了證明和推廣,并且2012年Yu 等人又進一步把純態情形的Gisin定理徹底地推廣到了任意多粒子系統。2015 年混合態情形的Gisin 定理首次被提出,并且發現其可以應用于量子身份驗證方案。

  Gisin 定理除了在量子信息學具有糾纏判據等意義之外,它對于量子力學多體問題本身還具有如下重要意義:在低溫情況下,一個量子多體自旋系統哈密頓量(比如Ising模型,Kitaev模型等)的基態是一個純態,由于系統的強關聯性此純態一般是一個糾纏純態,依據Gisin定理此物理系統的基態將破壞貝爾不等式因而具有量子非定域性。這個事實從另一個側面反映了Kitaev 模型等物理系統為什么能用于做量子計算的原因之一(此外還存在一些基于量子失協的量子計算方案,其中使用了非糾纏的量子態但仍具有非經典關聯性質)。此外,2002 年 Collins, Gisin, Linden, Massar 和Popescu 提出2-Qudit 系統的貝爾不等式,即CGLMP 不等式,它是CHSH 不等式的高維自然推廣。該不等式可以用來證明2-Qudit 任意純態的Gisin 定理。然而有些奇怪的是,對CGLMP不等式違背最大的態并非最大糾纏態,而且目前這種奇怪的現象尚缺乏合理的物理解釋。這從另一個側面反映出量子糾纏和貝爾非定域性是兩個截然不同的概念。量子糾纏與貝爾非定域性之間的準確界限目前還沒有完全弄清楚。比如,我們考慮2-Qubit Werner態,它是最大糾纏態與最大混合態的凸組合,其中使用參數V 來表示最大糾纏態在Werner 態中所占的權重。由糾纏度計算公式容易得知,V為1/3是糾纏態與可分離態之間的臨界點。但是如何界定量子糾纏與貝爾非定域性之間的臨界值尚未清楚。人們猜測這個該臨界值和一個被稱為Grothendieck 數的數學常數有關,其約等于0.66。

  五、GHZ 定理

  從定域實在隱變量理論出發得到的貝爾不等式能夠被量子力學破壞。貝爾不等式是通過對隱變量做統計平均,從而得到實驗上可以驗證的形式:關聯函數。實際上,還存在另外一種方案,即從量子力學出發,然后驗證相應的結論能否用定域實在論解釋,從而比較量子理論和經典理論的異同。其中,GHZ定理因為其直觀的物理圖景,得到了眾多的關注和研究。

  1989 年 Greenberger,Horne 和 Zeilinger (GHZ) 通過分析3-Qubit系統的最大糾纏態提出了 GHZ 定理:對于 GHZ態,存在一組互相對易的力學量,對這組力學量的測量,量子力學將給出與定域實在理論不相容的測量結果。GHZ 定理是首個研究貝爾非定域性的無不等式方法,其又被稱為GHZ 佯謬,因為在該佯謬中,量子力學給出了“+1”“的結果,而經典理論給出“-1”的結果。這個“1=-1”的矛盾論證說明,不存在經典的定域實在模型能夠描述量子力學的結果。貝爾不等式與 GHZ定理分別從不同的角度揭示出了貝爾定理。前者屬于有不等式形式的貝爾定理,后者屬于無不等式形式的貝爾定理。貝爾不等式要用到積分平均,因此它是一種統計上的結果。而 GHZ定理對量子糾纏態的非定域性是從非統計的角度來揭示,它顯示出了量子力學與定域實在理論的完全背離。2000 年,Pan 等人利用光子實驗方 案檢驗了關于3-Qubit GHZ 態的GHZ定理。但是基于光子的 GHZ定理實驗檢驗方案其容錯性不太強,比如光子的極化方向很難完美地調節到所需的方向,微小的偏差不可避免;另外光子還不可避免地受到環境退相干的影響。因此發展具有容錯性強的 GHZ定理實驗檢驗方案成為人們的一個重要研究目標。

  2010年基于非阿貝爾任意子和對任意子的辮子操作,人們提出了3-Qubit GHZ定理的可容錯實驗檢驗方案。非阿貝爾任意子是強關聯量子系統中拓撲態

  的準粒子激發,由于(i)拓撲態依賴于物理系統的整體拓撲性質而抗局域微擾破壞;(ii)對任意子的辮子操作是離散的幺正變換,一個任意子只能圍著另一個轉一圈或者不轉,沒有其他情況,故不會出現傳統光子方案中的微小偏差,因此方案是容錯性強的,可以彌補以前 GHZ定理光子實驗檢驗中探測效率低的漏洞。非阿貝爾任意子的量子非定域性可以選取填充數為12/5的分數量子霍爾液體,通過任意子干涉測量技術來檢驗。1997 年 Kitaev 提出了一個嚴格可解的二維格點環面模型,論述了在此模型上實現容錯量子計算的可能性。這個模型

  和他提出的另外一個蜂巢自旋格點模型是研究拓撲量子計算和拓撲序極其重要的模型,在可容錯的拓撲量子計算方面有著重要的應用。Kitaev的環面模型能出現阿貝爾任意子而蜂巢模型能出現非阿貝爾任意子。目前對這兩個模型的理論和實驗可行方案的研究都非?;钴S。傳統討論和證明GHZ 定理的方法是一般先給定量子態(例如 3-Qubit GHZ態)而不涉及具體物理系統的哈密頓量,對它的實驗檢驗往往依靠多光子糾纏,一旦對多光子態進行了測量,則此光子態即被毀壞。2009 年, GHZ 定理在Kitaev環面模型中首次得到證明和實現,從而揭示出此模型的貝爾非定域性。此類研究工作是從一個十分具體的哈密頓量模型出發證明了 GHZ定理,并且對其基態的測量是非破壞性測量,即完成所有構造 GHZ定理所需的網弦算符操作后物理系統的基態保持不變。這是一個十分有趣的結論,提供了研究和檢驗 GHZ定理的新途徑。

         
         六、Hardy 定理

  GHZ 定理的邏輯矛盾論證方法很容易推廣到三體以上的系統,但它不適用于兩體系統?;诖?,1993 年Hardy 提出了2-Qubit 系統的Hardy 定理, 亦稱為Hardy 佯謬。 與GHZ 定理類似,Hardy 定理是一種重要的研究貝爾非定域性的“無不等式方法”。其重要性被Mermin 評論為“最簡單形式的貝爾定理”和“量子力學非凡土壤中最奇特和最美的瑰寶之一”。Hardy 佯謬的奇特之處在于可以構造出三個幾率P1, P2 和P3, 當要求這三個幾率全部為零時,那么按照經典理論(定域隱變量理論)必然導致第四個幾率P4 為零,然而根據量子理論卻可以找到非零的幾率P4。P4 稱為成功幾率,對于兩比特而言其最大值可達約0.09。盡管這個值很微弱,卻顯示出量子力學與經典理論的本質不同。隨后,兩比特Hardy 佯謬的預言得到了基于光子實驗的驗證。兩比特 Hardy 佯謬的一個推廣方向是建立任意兩體d 維系統的Hardy 佯謬,2013 年人們首次以統一數學形式完成了該項推廣工作,并且發現隨著維數d 的增大Hardy 佯謬的成功幾率逐漸趨近0.5。兩比特 Hardy 佯謬的另一個推廣方向是建立任意N-Qubit Hardy 佯謬。2004 年Cereceda 首次給出N-Qubit Hardy 佯謬的一種推廣,并指出該佯謬最大的成功幾率能夠達到1/8,并于三粒子最大糾纏態處獲得?;谠撗鹬?,Cereceda同時推導出N-Qubit Hardy不等式,兩比特Hardy 不等式恰好等價于CHSH 不等式。2012年Yu 等人正是利用N-Qubit Hardy不等式徹底解析證明了任意N 體純態情形的Gisin 定理。2018 年,人們建立了N-Qubit Hardy 佯謬最一般的框架理論,而Cereceda 版本的Hardy 佯謬只是其中的一個特例。依據更一般的Hardy 佯謬,其最大成功幾率能夠達到1/4,并于3-Qubit 最大糾纏態處獲得,該結果易于進行實驗檢驗。

  Hardy 佯謬給人們提供了許多啟示。其中一條重要的啟示是:邏輯的推理是否永遠無懈可擊?或者說邏輯論證的成立是否也有其適用的范圍?從邏輯推理的視角, Hardy 佯謬可以重新被表述如下:我們把A 小于B 的幾率事件記為P(A<b), 那么依據三個零幾率事件p(a<b)=0, p(b<c)=0, p(c<d)=0, 在經典理論中必然推出第四個幾率事件p(a<d)=恒等于零。這就比如在日常生活中,假設有四個人a, b, c 和d,我們來比較他們的年齡。如果a的年齡大于b, b的年齡大于c,c的年齡大于d,那么就能推理出a 的年齡不可能小于d,這個推理的邏輯是很十分自然的,似乎是理所當然的。然而根據量子力學理論,總可以找到合適的2-qubit糾纏態以及相應測量方向,使得頭三個幾率恒為零,但第四個幾率卻大于零(該成功幾率最大值約等于0.09)。成功幾率大于零的根源在于量子糾纏,如果使用非糾纏量子態去研究hardy 佯謬,那么就會得到與經典理論相同的結論。從一定意義上說,是量子糾纏突破了經典理論中無懈可擊的邏輯推理。hardy佯謬的啟示讓人聯想起自由落體運動。亞里斯多德曾經斷言重的物體比輕的物體落得快。然而伽利略通過捆綁重物體和輕物體的方式提出了一個矛盾的邏輯論證,從而指出不同質量的物體只能下落一樣快。

  2018年4月,芬蘭阿爾托大學和奧地利維也納大學兩個科研團隊在《Nature》雜志上撰文指出,他們成功地在幾乎肉眼可見的設備中觀察到了糾纏現象。在精密測量技術成熟的今天,考慮如下的實驗似乎可行并且有意義:設有兩個不同質量的粒子,制備兩者處于糾纏態,那么在自由落體運動的實驗中誰會落得更快一些?若落得一樣快,說明自由落體運動具有普適性。若有一方落得快,那么就是量子糾纏以某種方式影響了自由落體運動。鑒于萬有引力和庫侖力的數學形式相似,亦可以設計實驗使用電荷取代質量的角色做電場中的自由落體運動。另一個重要啟示涉及許多人心中或許存在的疑問:量子糾纏是否真的存在?人們是否能夠摒棄量子糾纏從而發展出強大的新經典理論或超越量子力學的理論,以重新回歸昔日經典物理的榮耀和輝煌;抑或這已經不可能,量子力學與經典物理兩者只能漸行漸遠。無論如何,Hardy 佯謬為我們提供了一個從直觀上直接感覺量子糾纏存在的簡單例子,如果有取代量子力學的理論存在,人們不妨先測試一下是否能夠繞開量子力學中的糾纏給予Hardy 佯謬一個滿意的解釋。

  七、量子導引

  前面介紹了許多量子糾纏和貝爾非定域性相關的課題?,F在我們來說說量子導引。量子導引也被稱為EPR 導引,或者EPR 操控,它萌芽于1935 年的EPR 論文?!皩б保⊿teering)這個名詞是薛定諤于1935 年研究EPR 論文時明確提出的,并于2007 年由于Wiseman 等人的工作而重新受到關注。如果從現代的視角重新審視EPR 佯謬,就會察覺量子導引實際上是EPR 佯謬的核心。 EPR 佯謬是指:要么量子波函數不能提供對于物理實在的完備描述,要么對糾纏態其中一個粒子的測量會瞬間影響另一個粒子,無論它們相距多遠[either the quantum wave function does not provide a complete description of physical reality, or measuring one particle from a quantum entangled pair instantaneously affects the second particleregardless of how far apart the two entangled particles are]。后者就對應于``幽靈般的超距作用“ (spooky action at a distance),涉及量子非定域性,其一直困擾著愛因斯坦。愛因斯坦摒棄后者,從而質疑量子力學是否完備。

  在1964年至2006年期間,一個有意思的現象是“量子糾纏”和“貝爾非定域性”無論在理論上還是實驗上均獲得極大的發展,然而對于“量子導引”課題的研究卻一直停滯不前。其主要原因是量子導引在1935 年薛定諤時代只是一個思想性的概念,其在2007 年之前一直缺乏嚴格的數學定義或者可操作性的定義。2007 年,Wiseman等人首次給出量子導引的嚴格數學定義。他們指出量子非定域性可以細致分為三種不同類型:量子糾纏、量子導引和貝爾非定域性,并具有層級結構。量子導引是一種新型量子非定域性,它嚴格地介于量子糾纏與貝爾非定域性之間。從非定域性的強弱程度看,貝爾非定域性是最強類型的非定域性,量子導引屬于次強類型。從量子態集合的角度看,量子糾纏包含著量子導引,即量子導引是糾纏的子集;量子導引又包含著貝爾非定域性,即貝爾非定域性是量子導引的子集。換句話說,如果一個量子態具有量子導引能力或貝爾非定域性,那么它必須處于糾纏態。

  具體地說,量子導引指的是這樣一種現象,當Alice 與Bob 共享一對糾纏的粒子時,量子力學預言Alice 可以通過對她手中粒子作不同的測量從而使得Bob 手中粒子的波函數立刻塌縮到不同的量子態的系綜。這一明顯的非定域性來源是:對于同一個物理系統的波函數,按照不同基矢量可以有許多種甚至無窮種不同的展開方式(類似于對于一個空間矢量,它可以在任意不同直角坐標系中展開,而這些直角坐標系可以有無窮多個)。因此Alice 對于她手中粒子進行不同基矢量的測量, Bob 手中的粒子就被相應導引到不同的量子態。這種非定域性產生的直接效果是:Alice 可以導引或直接操控Bob 手中的粒子?;蛘咭暌稽c說,Bob 在他的世界里究竟看到了什么[如他手中粒子的狀態],取決于Alice 做怎樣的測量[如沿著某個方向對她手中粒子做測量]。這種非定域性使得薛定諤明顯地感到不安,但他又找不出EPR 論文的漏洞,于是他把EPR 的論證稱為EPR 佯謬。量子導引的現象表現出來的正好是:一方的測量能瞬間影響到遠處的另一方。這恰好對應于愛因斯坦的痛處。量子導引涉及系統波函數坍縮,它這種奇特性質可以應用于遠程量子態制備。波函數塌縮一直是量子力學中一個令人困惑的問題,目前尚未解決。多數研究人員還是認為存在波函數坍縮,只是坍塌的背后機制或動力學行為尚不清楚。

  前面提到,量子力學的研究通常要和經典理論進行對比。對于這三種量子非定域性,如果說量子糾纏要和可分離態模型對比,貝爾非定域性要和定域隱變量模型(LHV 模型)對比,那么,與量子導引相對比的經典模型被稱為定域隱態模型。1935 年,盡管不安于非定域性,薛定諤還是覺得Bob 手中的粒子實際上具有某一個確定的量子態,盡管Bob 本人不知道, 因此Alice 能非定域地操縱Bob 的態只是一個假象,不可能在實驗上觀測到。這就是所謂的定域隱態模型(Local Hidden State 模型,簡稱為LHS 模型)。2007 年,Wiseman 等人給予了EPR 導引一個操作性的定義。從量子信息任務的角度看,在允許經典通訊的情況下,如果Alice 能夠說服 Bob 他倆手中的兩個粒子處于糾纏態,以及Bob 手中的粒子態沒有一個定域隱態模型可以描述,則說明Alice 具有EPR 導引的能力,即Alice 能夠在不直接接觸Bob 手中粒子的情況下操控其狀態。一個能體現導引能力的量子態稱為可導引量子態,人們把這種現象稱為“量子導引”,以便和“量子糾纏”以及“貝爾非定域性”相區分開。這種新型的量子非定域性引發了人們的廣泛興趣,隨后有許多與EPR 操控相關的工作相繼出現。

  貝爾非定域性的兩種傳統研究方法可以移植到EPR 導引的研究。比如,2010 年人們開始發展出EPR 導引不等式來判定量子態的導引性質,2013 年人們發展“全對無判據”的無不等式方法來理論研究和實驗探測量子導引, 2016 年人們也發現“1=2”這種類似GHZ 佯謬的矛盾等式來揭示量子導引。在深入研究貝爾非定域性和量子導引之間的關系過程中,2016 年人們發現了一個很有意思的結果:給定量子態Y 與量子態X兩者滿足特定的映射關系,如果量子態X 具有量子導引性質,那么量子態Y 必然具有貝爾非定域性。這個結論有兩方面的意義:(i)在理論方面,從方法論的角度它提供了研究貝爾非定域性的新途徑,其有別于兩種傳統途徑,豐富了研究貝爾非定域性的方法;(ii)在實驗方面具有一個很大的優點,因為“量子導引”的非定域程度要弱于“貝爾非定域性”,對于它的實驗檢驗不需要滿足“定域性假設”這樣苛刻的實驗條件。因此,實驗上通過檢驗量子態X的量子導引性質來間接地探測量子態Y的貝爾非定域性可以自動繞過了定域性漏洞。在目前現有的量子技術條件下,該實驗檢驗可以在糾纏光子體系、金剛石色心體系等中進行。

  最后, 與量子糾纏和貝爾非定域性不同,“非對稱性”是量子導引所特有的性質。比如說,Alice 和 Bob 分享一個非交換對稱量子態,對糾纏而言,如果Alice 和Bob 糾纏,則Bob 也和 Alice 糾纏 (即糾纏是對稱的);但對于量子導引而言,有可能發生 Alice 能夠導引 Bob, 而 Bob 不能導引 Alice 的情形。這就是非對稱量子導引現象?!胺菍ΨQ量子導引”或者“單方向量子導引”首次出現于Wiseman 等人2007 年論文,當時還只是個“開放問題(Open Question)”。2012 年Handchen 等人首次利用糾纏高斯態首次在連續變量系統來展示非對稱量子導引。2014 年Bowles 等人首次從理論上解析證明在兩比特的離散變量系統中確實存在單方向量子導引。2016 年中國科技大學實驗組和澳大利亞格里菲斯大學實驗組同時在離散變量系統中檢驗了單方向量子導引。非對稱量子導引在單向量子密碼等量子信息任務方面具有應用前景。

  八、真實多體量子非定域性

  在多粒子系統的量子非定域性研究中,有一種特殊但又極為重要的情況被人們所關注,那就是真實多體量子非定域性。它包括真實多體糾纏,真實多體量子導引和真實多體貝爾非定域性,此三者從后往前分別為子集合的關系。真實多體糾纏(Genuine Multipartite Entanglement)也被稱為全部N 體糾纏(Full N-Body Entanglement),顧名思義,它指的是在N 粒子系統中任意一個粒子都和其余的N-1 個粒子糾纏。如果一個多體量子態不能分成兩個不相關的部分,那它就是真實多體糾纏。人們對真實多體糾纏感興趣的原因之一是由于在量子計算和量子信息中全部糾纏的量子態要比部分糾纏的量子態要高效。

  真實多體糾纏的研究課題最早可以追溯到1987 年Svetlichny 的工作。有些奇特的地方是,Svetlichny 所發表的工作要竟然稍早于1989 年Werner 的工作及1989年GHZ 的工作,因為(i)直到1989年Werner 才給出量子糾纏的數學定義;(ii)1989年GHZ 態才正式出現,但1987 年Svetlichny 在論文中已經使用了在局域幺正變換下與GHZ 態等價的量子態,并指出這類態具有真實多體糾纏和真實多體貝爾非定域性。Svetlichny 是一位巴西粒子物理學家,其研究動機主要是考慮當一個粒子衰變成三個粒子時該如何判定衰變后得到的三粒子系統是全部糾纏,而不只是部分粒子之間糾纏。他通過提出的三個自旋1/2粒子的Svetlichny 不等式來成功地做到了這一點。實際上,Svetlichny不等式探測的是真實多體貝爾非定域性,由于真實多體貝爾非定域性是真實多體糾纏的子集,因此Svetlichny不等式的違背不僅意味著該多體量子態具有真實多體貝爾非定域性,同時還意味著該量子態具有真實多體糾纏。

  貝爾不等式與Svetlichny不等式之間有聯系又有區別。通常的貝爾不等式,比如MABK 不等式以及Hardy 不等式等,它們本身并不能區分量子態是否是全體糾纏還是部分糾纏,原因是這些量子態都有可能違背這些不等式。Svetlichny不等式的獨特功能就是它能夠把全體糾纏的量子態單獨篩選出來。我們可以從信息交流的角度來說出Svetlichny不等式與貝爾不等式之間的區別和聯系:打個比方說,給定N個人,把它任意分成兩組,一組有M 個,另一組有N-M個,對Svetlichny不等式來說,它只要求不同組的人之間不允許有信息交流,但同一組人之間不做要求,即他們可以交流也可以不交流。而對于貝爾不等式來說,就是N 個人被分成N 組,任何人之間不允許有信息交流。因此,對于Svetlichny不等式而言,若進一步限制同組人之間亦不允許進行交流,那么此時Svetlichny不等式就退化成貝爾不等式。

  研究真實多體糾纏大致有兩種方法。第一種方法就是真實多體糾纏判據,這些判據本質上是Peres 正定部分轉置判據(PPT 判據)的多粒子推廣。但這些判據只判定真實多體糾纏本身,與真實多體貝爾非定域性無關。第二種方法就是多粒子的Svetlichny 不等式,其同時判定真實多體貝爾非定域性和真實多體糾纏。2002 年有兩個研究小組,即Svetlichny本人還有Gisin的日內瓦小組,同時報道了任意N-Qubit的Svetlichny 不等式。作為任意N-qubit 的 Svetlichny 不等式物理應用, 已有研究工作把它們應用到一維Ising 模型以探測系統本征態的全部N 體糾纏性質。2010 年Svetlichny 不等式被推廣到任意 N-Qudit 系統。在實驗進展方面,2009 年有研究者基于光學實驗檢驗了3-Qubit Svetlichny 不等式。目前高維量子態在實驗上已經逐漸可以制備和操作,對于多體高維Svetlichny 不等式的實驗檢驗值得期待。對于量子導引,2013年He 等人研究了連續變量系統的真實多體量子導引并且有相關實驗檢驗。然而,到目前為止,對于離散變量系統還沒有出現好的不等式來研究真實多體量子導引。此外,對于量子非定域性和真實多體量子非定域性,人們也開始研究Wigner 轉動這種相對論效應對它們的影響。

  九、動力學非定域性

  量子力學破壞貝爾不等式所顯示的非定域性是一種關聯非定域性(Correlational Quantum Nonlocality, 簡稱為CQNL),它與非定域性關聯有關,即與前面提到的貝爾不等式有關。這種非定域性體現在自然界中存在著一種強關聯(即糾纏態),如果想要通過經典儀器來模擬這種強關聯只有假定存在瞬時通訊才可能實現。另外還存在一種動力學非定域性(Dynamical Quantum Nonlocality, 簡稱為DQNL),于2010 年由Popescu 提出,其體現在某些可觀測量是由全局量而不是由定域性的量而決定的。我們知道,薛定諤方程考慮的是坐標空間中一點x的狀態波函數,在這個意義上我們說此狀態波函數是定域的。讓我們考慮量子力學中的空間平移算符,當它作用在函數F(x)上時將把該函數平移了一段距離L而得到新的函數F(x+L)。 在含有勢能V(x)的哈密頓量中,考慮該平移算符隨時間演化的海森堡方程時,人們就會看到平移算符隨時間的演化與空間中兩點x和x+L有關,因此它是非定域的。這與經典理論的結果不同,在經典系統中平移算符仍然定域地演化。動力學非定域性的一個熟悉的例子是Aharonov-Bohm效應。在AB 效應中,干涉條紋的位置取決于兩條路徑所構成的閉合回路內的磁通量,盡管在路徑上并不存在磁場。在雙縫實驗中包含條紋位置信息的單粒子空間平移算子的海森堡運動方程是非定域性的,因為運動演化方程中竟然包含了V(x+L)-V(x)這樣的非定域項。這個演化方程從經典物理的角度來看是無法解釋的,如果把L 理解為雙縫之間的距離,那么這個演化方程明顯地體現了在雙縫實驗中存在的動力學非定域性。在著名的雙縫實驗中人們一直困惑的是當電子通過狹縫時它是如何能夠感知狹縫的總體開閉情況,從而形成實驗所觀察到的相應條紋。Popescu的這個演化方程對這一問題的回答是:如果包含條紋信息的物理量是非定域的,那么電子就可以知道狹縫開閉的整體情況。

  DQNL 和 CQNL的一個區別在于前者可以發生在單個粒子(及單個自由度)系統,而后者往往需要利用兩個或兩個以上的糾纏粒子。CQNL 是由希爾伯特空間的性質決定的,因此它是一種純運動學性質。這一點由描述它的工具Popescu-Rohrlich Box的性質就可以看出來。PR-Box是非時間的,一旦一端作輸入操作,立即能得到輸出值而不存在任何與另一端的動力學過程。同樣PR-Box也不直接包 含空間概念,一個PR-Box兩端相距的遠近是沒有度量意義的,唯一的相關要求是兩端的輸入輸出事件是類空的。DQNL中則包含動力學概念,它可以通過某些非定域物理量(比如空間平移算子)的海森堡運動方程明顯體現出來。這兩種非定域性的研究各有特點。在 CQNL的研究中由于它描述的形式化(比如 PR-Box 描述)以及便于量化(比如通過貝爾表達式的值)使得其研究更容易展開,與之相關的研究成果已構成了量子信息學的重要組成部分。它的不足在于CQNL 是純運動學的 性質,無法得出一些更加深刻的動力學結論。與 CQNL 的研究相反,DQNL 的研究與非定域物理量的動力學演化方程相關,它往往基于一些具體的動力學過程(如AB 效應或 AC 效應),而不像PR-Box那樣只是一種抽象的理想裝置。因此,DQNL 的研究較困難,但其回報也更大---使得人們能得出某些深刻的動力學結論。對DQNL 的研究另一個重要意義在于使人們更加深刻地理解量子相干行為和態的疊加。對于DQNL,Popescu 認為:“當然這只是一個開端,從某種意義上說,現在的情況使人聯想到量子信息理論出現之前人們對貝爾不等式的研究”。

  目前只有在單粒子 AB 效應和 AC 效應中被指出存在著“動力學量子非定域性”。Popescu 描述說“有理由相信在多粒子、存在相互作用或是存在糾纏的情況下,所得動力學量子非定域性的結果將更加有趣”。已有一些文獻研究了多粒子AB/AC 效應,構造出關聯函數來檢驗量子力學對貝爾不等式的違背。2013 年,出現了基于AC效應的驗證 Leggett 不等式的實驗方案。貝爾不等式和Leggett 不等式都是用關聯函數來構造的,對它的量子破壞標志著關聯非定域性。這就產生一個很有意思的課題,即可以在具有“動力學量子非定域性”的物理效應的系統中研究“關聯量子非定域性”,它表明這兩種不同非定域性之間存在著聯系,值得進一步研究。

  十、討論

  一個很自然的問題是:非定域性的理論只有量子力學一種嗎?Popescu和Rohrlich在這方面做了探索。他們從非定域性和因果律出發,構造出一組聯合概率,能夠比量子力學更大地破壞CHSH不等式。于是,是否存在更高級的非定域性理論,即超量子力學,而量子力學只是它的一個特例呢?為了研究這一問題,PR-Box應運而生。在一個PR-Box中,測量方式和測量結果被分別抽象為輸入和輸出,而從輸入得到輸出的機制被忽略掉。這個機制可以是任何經典理論,可以是量子力學,或是迄今尚未發現的其他理論。PR-Box對CHSH不等式的破壞可以到達代數值 4,而經典理論是2,量子力學是2.828。多數的看法認為量子力學是描述世界的正確理論,那么量子力學達不到4的原因是什么?這是一個重要而有趣的問題。研究 PR-Box以及實現非定域性的最優化提純方案對于人們更深刻地認識和理解關聯量子非定域性具有重要的科學意義。此外,(i)物理系統的量子態在某種條件下(如絕熱或非絕熱、循環或非循環、幺正或非幺正等)經過一段時間演化之后會產生 Berry 相和 Aharonov-Anandan相等幾何相位,可是幾何相位究竟能否反映出物理系統的量子非定域性是一個值得探討的課題;(ii)量子回流現象:自由粒子的概率流應該與它的動量方向相同。然而,量子力學的態疊加原理允許不同本征態的疊加,這將使得在疊加態下的粒子平均動量會出現與概率流相反的情況。量子回流現象與量子力學基本問題領域中的粒子到達時間問題、玻姆力學中的量子勢、光學領域中的超振動現象等有關,其是否和量子非定域性有聯系,也是個值得探討的重要問題。
          

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